Производственная функция ее алгебраическое описание. Производственная функция как модель процесса производства. Закон замещения факторов производства

Министерство образования и науки Украины

Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра экономической кибернетики

Курсовая работа

по дисциплине «Моделирование экономики»

на тему: «Производственные функции»

Выполнила:

студентка 5 курса

группы ЭК-502

Томас М.А.

Проверил:

Производственная функция (функция производства) представляет уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов, факторов производства) с величиной выпуска продукции (в дальнейшем просто «выпуска»). Понятия выпуска и факторов производства конкретизируются в зависимости от характера и масштаба рассматриваемой производственной единицы, цели исследования, доступной информации. Например, выпуск может измеряться в натуральных или стоимостных показателях, в реальных или потенциальных величинах. А ресурсы могут рассматриваться либо фактически затраченные, либо имеющиеся в распоряжении на начало периода производства. Число факторов в производственной функции не обязательно ограничивается заранее, однако требуется их сопоставимость по характеру воздействия на выпуск и уровню агрегирования .

В экономическом моделировании наиболее широко представлены макроэкономические производственные функции . Эти функции являются агрегатными производственными функциями, характеризующими зависимость показателя совокупного общественного продукта или иного обобщающего показателя от основных факторов производства. В качестве основных факторов производства обычно рассматриваются объем капитала, рабочей силы, а также земли. В ряде макроэкономических производственных функций в качестве отдельного фактора учитывается также воздействие научно-технического прогресса. Макроэкономические производственные функции исследуются самостоятельно или включаются в сложные эконометрические модели.

Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска и решения прогнозных и плановых задач в следующих случаях:

Для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант, который отражает текущие связи между экономическими показателями);

Для анализа и прогнозирования соотношения объемов факторов и объемов выпуска в разные моменты времени (динамический вариант, т. е. выявление тенденций экономического развития).

Для отдельного предприятия (фирмы) или отрасли, выпускающей однородный продукт, часто рассматриваются многофакторные производственные функции, связывающие объем валового выпуска (измеренного в натуральных единицах) с затратами:

Рабочего времени по различным видам трудовой деятельности;

Различных видов сырья, энергии, полуфабрикатов, комплектующих изделий (измеренных, как и выпуск, в натуральных единицах).

Такие функции характеризуют действующую технологию или спектр возможных технологий. В отдельной фирме производственная функция описывает максимальный объем выпуска продукции, которую эта фирма в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства.

При построении производственных функций крупных отраслей, регионов или народного хозяйства обычно пользуются стоимостными измерителями (как правило, в постоянных ценах), а выпуск измеряют конечным (а не валовым) продуктом. Кроме того, в этих функциях исключают или сводят к минимуму учет текущих затрат, а также включают небольшое количество переменных (по сравнению с микроэконо­мическим уровнем). Макроэкономические производственные функции, как правило, содержат 2-4 фактора производства, например, живой труд, основные средства, научно-технический прогресс, обобщающий показатель вовлекаемых природных ресурсов.

Многофакторные микроэкономические производственные функции применяются в технико-экономических расчетах и отражают реально действующие или потенциально допустимые производственные технологии, например, для определения возможных вариантов развития предприятий.

В прикладных исследованиях основное направление использования производственных функций - прогнозирование (особенно средне- и долгосрочное) и перспективное планирование.

Для агрегатных экономических единиц производственная функция строится в предположении, что соответствующий объект моделируется как единое предприятие, функционирующее по принципу «затраты ресурсов - выпуск продукции» или «имеющиеся ресурсы - результаты деятельности». В первом случае рассматриваются потоки ресурсов, а во втором - их общие объемы, запасы. Тем самым принимается гипотеза о целостности объекта, моделируемого с помощью производственной функции, о его неделимости. Для большинства производственных функций эта гипотеза существенна и с формальной точки зрения, ибо не удается воспользоваться одной и той же производственной функцией для представления объекта в целом и в виде совокупности образующих его производственных единиц. Другими словами, непосредственное агрегирование для производственной функции, как правило, неосуществимо. Исключение составляют производственные функции, в которые факторы входят в виде линейной комбинации. Поэтому анализ экономиче­ской деятельности как агрегата и как совокупности предприятий ведется изолированно, а совмещение полученных результатов и их интерпретация представляют самостоятельные и, главным образом, содержательные задачи. Отраслевые производственные функции могут отображать функционирование отрасли как целого, либо отображают деятельность ее среднего предприятия. В первом случае производственная функция связывает временные ряды отраслевых агрегатов выпуска и ресурсов, а внутренняя структура отрасли обычно не учитывается. Во втором случае производственная функция «пространственно» измеряет показатели для образующих отрасль предприятий. Объединение этих подходов в рамках одного эконометрического исследования технически сложно и требует более жестких предположений о характере эмпирических данных .

Производственная функция является обобщением таких традиционных экономических показателей как производительность труда, фондоотдача, материалоемкость и т. п. Иногда, вместо производственных функций используются соотношения, связывающие между собой не объемы, а темпы прироста ресурсов и выпуска или темпы и объемы одновременно. Такие соотношения обычно называются темповыми производственными функционалами. Широко распространения в экономико-математических исследованиях они не получили.

Производственная функция, устанавливающая зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска. Частными случаями производственной функции являются:

функция издержек , описывающая связь между объемом выпуска и издержками производства;

инвестиционная функция , описывающая зависимость необходимых инвестиций от производственной мощности будущего предприятия.

Формально производственная функция может быть записана следующим образом:

Временные ряды (ряды динамики) или результаты пространственно-временных выборок показателей ресурсов и выпуска (тогда речь идет о динамических моделях) .

Параметры функции оцениваются, в основном, методами корреляционно- регрессионного анализа. Полученные таким образом производственные функции представляют статистические зависимости между ресурсами и выпуском. Причем, часто оценка погрешности такова, что пользоваться полученными зависимостями на практике не представляется возможным, особенно в случае множественной регрессии. Поэтому полученные зависимости отражают только предполагаемые тенденции развития и обладают низкой достоверностью. В работах западных экономистов неоклассического направления значения параметров производственной функции часто определяют исходя из гипотезы:

Под производством в современной микроэкономике понимается деятельность по использованию факторов производства с целью создания продукта или услуги и достижения наилучшего результата. В процессе производства используются факторы производства: труд, капитал, земля и др. Можно выделить составные части каждого фактора и рассматривать их как самостоятельные факторы. Например, в факторе «труд» могут быть выделены труд менеджеров, инженеров, рабочих и т.д.

В экономической теории выделяют первичные факторы производства, которые в соответствии с теорией факторов производства (ее связывают с именем французского экономиста Жана Б. Сэя) создают новую стоимость. К ним относятся труд, капитал, земля и предпринимательские способности. Вторичные факторы не создают новую стоимость. В современном производстве возрастает роль энергии и информации, им присущи признаки первичных и вторичных факторов.

Производственная функция выражает технологическую взаимосвязь между конечным выпуском и затратами факторов производства и. В неявном виде она записывается следующим образом:

где - форма функции; - максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся количестве факторов производства (и).

В моделях процесса производства, в производственных функциях, учитываются два основных фактора: труд и капитал. Это позволяет проанализировать важнейшие связи и зависимости в процессе производства без упрощения их реального содержания. В производственной функции выпуск, затраты труда и капитала измеряются в натуральных единицах (выпуск в метрах, тоннах и т.п., затраты труда в человеко-часах, капитала - в машино-часах и т.п.).

Примером производственной функции, в явном виде представляющей зависимость между выпуском и затратами факторов производства, является функция Кобба-Дугласа:

где - эффективность технологии;

Частная эластичность выпуска по труду;

Частная эластичность выпуска по капиталу.

Функция была выведена математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США. Эта сегодня широко известная функция обладает рядом замечательных свойств. Ниже проанализируем экономический смысл ее параметров. Функция Кобба-Дугласа описывает экстенсивный тип производства.

Если используются факторов производства, то производственная функция имеет вид:

где - количество используемого -го фактора производства.

Свойства производственной функции состоят в следующем.

1. Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это значит, если затраты хотя бы одного фактора равны нулю, то и выпуск равен нулю:. Исключение составляет функция

В соответствии с такой функцией можно использовать только труд или только капитал, и выпуск не будет равен нулю.

• 2. Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы производства и. Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства.
• 3. Свойство делимости означает, что процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие

При этом, если, то имеем неизменную отдачу от масштаба; если - возрастающую отдачу от масштаба; если, то имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы не изменяются, при возрастающей - снижаются, при убывающей - возрастают.

Изокванта (или кривая постоянного продукта - (isoquant) представляет собой график производственной функции. Точки на изокванте отражают множество комбинаций факторов производства, использование которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции.

Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (рис.), лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем выпускаемой продукции (изделий,). Однако, в отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты показывают реальный объем производства. Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map).

Реальная изокванта с выпуском представлена на рис 1.1а в трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и перенесена на рис. 1.1б . Если используются отмеченные сочетания факторов производства, но применяется более прогрессивная технология, то выпуск будет равен. Но проекция у изокванты с таким выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском. Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис. 1.1б ) выше и правее изокванты с меньшим выпуском.

На рис. а взаимосвязь между выпуском и затратами нарушается: выпуск получен с большими затратами труда и капитала, чем. Ниже будет показано, как на расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры.

Эффективность технологии (параметр в функции Кобба-Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис.). В точках и выпуск один и тот же. На рис. б изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис. а .

Зависимость количества производимых товаров от соответствующих факторов производства, с помощью которых она изготавливается. Рассмотрим это понятие более подробно.

Производственная функция всегда имеет конкретный вид, так как она предназначена для определенной технологии. Внедрение новых технологических разработок влечет за собой изменение или создание нового вида зависимости.

Данная функция используется для поиска оптимального (минимального) количества затрат, которые необходимы для изготовления определенного количества товаров. Для всех производственных функций, в независимости от того, какой они выражают, характерны такие общие свойства:

Рост объема производимых товаров за счет только одного фактора (ресурса) имеет конечный предел (в одном помещении может нормально работать только определенное число рабочих, поскольку количество мест ограничено площадью);

Факторы производства могут быть взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми (работники и инструменты).

В самом общем виде производственная функция выглядит так:

Q = f (K, L, M, T, N), в этой формуле

Q — объем произведенных товаров;

K — оборудование (капитал);

М — затраты на материалы и сырье;

Т — используемые технологии;

N — предпринимательские способности.

Виды производственных функций

Существует множество типов этой зависимости, которые учитывают влияние как одного, так и нескольких наиболее важных факторов. Однако наибольшую известность получили два основных вида производственной функции: двухфакторная модель вида Q = f (L; K) и функция Кобба-Дугласа.

Двухфакторная модель Q = f (L; K)

Эта модель рассматривает зависимость объема производства (Q) от (L) и капитала (L). Довольно часто для анализа этой модели используется группа изоквант. Изокванта - это такая кривая, которая соединяет все возможные точки сочетаний позволяющих выпускать конкретный объем товаров. На оси X обычно отмечают затраты труда, а на оси Y - капитала. На одном и том же графике рисуют несколько изоквант, каждая из которых соответствует определенному объему продукции при использовании конкретной технологии. В итоге получается карта изоквант с разными количествами изготавливаемых товаров. Она и будет являться производственной функцией для данного предприятия.

Для изоквант характерны следующие общие свойства:

Вогнутый и нисходящий вид изокванты связан с тем, что уменьшение использования капитала при стабильном объеме выпускаемых товаров вызывает рост затрат труда;

Вогнутая форма кривой изокванты зависит от предельно допустимой нормы технологического замещения (то количество капитала, которое может заменить 1 дополнительная единица труда).

Функция Кобба-Дугласа

Эта производственная функция, названная в честь двух американских первооткрывателей, где общий объем выпущенной продукции Y находится в зависимости от используемых в процессе производства ресурсов, например, труда L и капитала К. Ее формула:

где α и b - это константы (α>0 и b>0);

K и L - соответственно капитал и труд.

Если сумма констант α и b равна единице, то принято считать, что у такой функции присутствует постоянный производства. Если параметры К и L умножаются на какой-либо коэффициент, то Y также нужно умножить на этот же коэффициент.

Модель Кобба-Дугласа вполне можно применить для какой-либо отдельной фирмы. В этом случае α - это доля общих затрат идущая на капитал, а β - доля, идущая на труд. Модели Кобба-Дугласа также могут содержать более двух переменных. К примеру, если N - это то производственная функция приобретает вид Y=AKαLβNγ, где γ - константа (γ>0), а α + β +γ = 1.

экономический функция сельский издержки

Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т.д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.

Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных.

Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа. При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.

Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.

Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.

Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q. Производственная функция

устанавливает связь между этими величинами. Заметим, что здесь, как и в других лекциях, все объемные величины - это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.

На рис. 1 приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.

Рис. 1.

Производственная функция вида (1), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.

Значительно большее разнообразие появляется при рассмотрении производственной функции, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов:

q = f(x 1 , x 2), (2)

Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым. Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов - затрат труда (L) и капитала (K):

q = f(L, K), (3)

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию вида (2) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x 1 и x 2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 2). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x 1 и x 2 . Построение на рис. 1 при этом можно рассматривать как вертикальный разрез "холма" плоскостью, параллельной оси x 1 и соответствующей фиксированному значению второй координаты x 2 = x * 2 .

Рис. 2.

экономический сельский издержки

Горизонтальный разрез "холма" объединяет варианты производства, характеризующиеся фиксированным выпуском продукта q = q* при различных сочетаниях затрат первого и второго ресурсов. Если горизонтальное сечение поверхности "холма" изобразить отдельно на плоскости с координатами x 1 и x 2 , получится кривая, объединяющая такие комбинации затрат ресурсов, которые позволяют получить данный фиксированный объем выпуска продукта (рис. 3). Такая кривая получила название изокванты производственной функции (от греч. isoz - одинаковый и лат. quantum - сколько).

Рис. 3.

Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т.е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте.

Зафиксировав объем выпуска продукта на другом уровне, мы получим другую изокванту той же самой производственной функции. Выполнив серию горизонтальных разрезов на различных высотах, получим так называемую карту изоквант (рис. 4) - наиболее распространенное графическое представление производственной функции от двух аргументов. Она похожа на географическую карту, на которой рельеф местности изображен горизонталями (иначе - изогипсами) - линиями, соединяющими точки, лежащие на одинаковой высоте.

Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта - на кривую безразличия, карта изоквант - на карту безразличия. Позже мы убедимся в том, что свойства и характеристики производственной функции имеют много аналогий в теории потребления. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление. Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта "полезность" имеет вполне определенную количественную меру - она определяется объемом производимой продукци.

Рис. 4.

То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления. Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.

Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и "полезности", выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, - покупая или отвергая его. Набор производственных ресурсов в конечном счете окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.

Поскольку производственной функции присущи наиболее общие свойства функции полезности, мы можем далее рассмотреть основные ее свойства, не повторяя подробных рассуждений, приведенных во II части.

Будем считать, что увеличение затрат одного из ресурсов при неизменных затратах другого позволяет увеличить выход продукции. Это значит, что производственная функция - возрастающая функция каждого из своих аргументов. Через каждую точку плоскости ресурсов с координатами х 1 ,х 2 проходит единственная изокванта. Все изокванты имеют отрицательный наклон. Изокванта, отвечающая большему выходу продукта, располагается правее и выше изокванты для меньшего выхода. Наконец, все изокванты будем считать выпуклыми в направлении начала координат.

На рис. 5 изображены некоторые карты изоквант, характеризующие различные ситуации, возникающие при производственном потреблении двух ресурсов. Рис. 5,а соответствует абсолютному взаимозамещению ресурсов. В случае, представленном на рис. 5,б, первый ресурс может быть полностью замещен вторым: точки изоквант, расположенные на оси х 2 показывают количество второго ресурса, позволяющее получить тот или иной выход продукта без использования первого ресурса. Использование первого ресурса позволяет сократить затраты второго, но полностью заменить второй ресурс первым невозможно. Рис. 5,в изображает ситуацию, в которой оба ресурса необходимы и ни один из них не может быть полностью замещен другим. Наконец, случай, представленный на рис. 5,г, характеризуется абсолютной взаимодополняемостью ресурсов.

Рис. 5.

Производственная функция, зависящая от двух аргументов, имеет довольно наглядное представление и сравнительно проста для расчетов. Нужно заметить, что в экономике используются производственные функции различных объектов - предприятия, отрасли, национального и мирового хозяйства. Чаще всего это функции вида (3); иногда добавляют третий аргумент - затраты природных ресурсов (N):

q = f(L, K, N), (4)

Это имеет смысл, если количество природных ресурсов, вовлекаемых в производственную деятельность, является переменным.

В прикладных экономических исследованиях и в экономической теории используются производственные функции разных типов. В прикладных расчетах требования практической вычислимости заставляют ограничиться небольшим числом факторов, и эти факторы рассматриваются укрупненно - "труд" без подразделения по профессиям и квалификации, "капитал" без учета его конкретного состава, и т.д. При теоретическом анализе производства можно отвлечься от трудностей практической вычислимости.

Сырье различных сортов должно рассматриваться как различные виды ресурсов, точно так же, как машины различных марок или труд, различающийся по профессиональному и квалификационному признакам. Таким образом, используемая в теории производственная функция - это функция большого числа аргументов:

q = f(x 1 , x 2 ,..., x n), (5)

Такой же подход применялся и в теории потребления, где число видов потребляемых благ никак не ограничивалось.

Все, что было ранее сказано о производственной функции двух аргументов, может быть перенесено и на функцию вида (4), разумеется, с оговорками, касающимися размерности. Изокванты функции (4) - это не плоские кривые, а n-мерные поверхности. Тем не менее мы и в дальнейшем будем пользоваться "плоскими изоквантами" - и в иллюстративных целях, и как удобным средством анализа в случаях, когда затраты двух ресурсов являются переменными, а остальных считаются фиксированными.

Виды производственных функций представлены в таблице 1.

Таблица 1. Виды производственных функци

Название ПФ	Двухфакторная ПФ	Использование
1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ Леонтьева)		Предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции.
2. ПФ Кобба- Дугласа		Используется для описания среднемасштабных объектов (от промышленного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием.
3. Линейная ПФ		Применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, н-х в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий.
4. ПФ Аллена		Предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска. Обычно используется для описания мелкомасштабных ПС с ограниченными возможностями переработки ресурсов.
5. ПФ постоянной эластичности замены факторов (ПЭЗ или CES)		Применяется в случаях, когда отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов вовлекаемых ресурсов.
6. ПФ с линейной эластичностью замены факторов (LES)
7. Функция Солоу		Может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и ПФ ПЭЗ, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок ПЭЗ. Рекомендуется, когда предположение об однородности представляется неоправданным. Может моделировать системы любого масштаба.

Неоклассические модели экономического роста строятся на базе производственной функции и основаны на предпосылках полной занятости, гибкости цен на всех рынках, а также пол ной взаимозаменяемости факторов производства. Попытки исследовать, в какой степени качество факторов производства (их производительность) и различные пропорции в их сочетании воздействуют на экономический рост, привели к созданию модели производственной функции Кобба - Дугласа.

Функция Кобба-Дугласа впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (Charles Cobb) и Паулом Дугласом (Paul Douglas) в работе«A Theory of Production» (mar.,1928).В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Производственная функция Кобба-Дугласа -- зависимость объема производства Q от создающих его труда L и капитала K.

Общий вид функции:

где А -- технологический коэффициент,

б -- коэффициент эластичности по труду, а

в -- коэффициент эластичности по капиталу.

Впервые Функция Кобба - Дугласа получена в результате математического преобразования простейшей двухфакторной производственной функции y = f(x1, x2), отражающей зависимость между объемом произведенной продукции у и двумя видами ресурсов: материальными x1 (затраты сырья, энергии, транспортные и другие ресурсы) и трудовыми x2. Функция Кобба - Дугласа показывает, какой долей совокупного продукта вознаграждается участвующий в его создании фактор производства.

Таким образом, однозначное количественное определение доли каждого производственного ресурса в конечном продукте затруднительно, так как производство возможно лишь при взаимодействии всех факторов и влияние каждого фактора зависит как от объема его использования, так и от объемов использования других ресурсов.

Построение производственных функций позволяет, пусть не абсолютно точно, определить влияние каждого из ресурсов на результат производства, дать прогноз относительно изменения объема производства при изменениях в объеме ресурсов, определить оптимальную комбинацию ресурсов для получения заданного количества продукции.

В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Каждый индивид выступает на рынке в двух ролях: как потребитель и как производитель. Без постоянного производства благ не было бы потребления. На известный вопрос «Что производить?» отвечают потребители на рынке, «голосуя» содержимым своего кошелька за те товары, которые им действительно нужны. На вопрос «Как произвести?» должны ответить те фирмы, которые производят товары на рынок.

В экономике присутствует два вида благ: потребительские блага и факторы производства (ресурсы) – это блага, необходимые для организации процесса производства

Hеоклассическая теория традиционно к факторам производства относила капитал, землю и рабочую силу.

В 70-е годы XIX столетия Альфредом Маршаллом был выделен четвертый фактор производства – организация. Далее, Йозефом Шумпетером этот фактор был назван предпринимательством.

Таким образом, производство представляет собой процесс соединения таких факторов как капитал, труд, земля и предпринимательство с целью получения новых благ и услуг, необходимых потребителям.

Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве.

Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией:

где Q - максимальный объем продукта, который возможно произвести при заданной технологии и определенных факторах производства; K - затраты капитала; L - затраты труда; M - затраты сырья, материалов.

Для укрупненного анализа и прогнозирования используется производственная функция, называемая функцией Кобба-Дугласа:

Q = k · K · L · M ,

где Q - максимальный объем продукта при заданных факторах производства; K, L, M - соответственно затраты капитала, труда, материалов; k - коэффициент пропорциональности, или масштабности; , , , - показатели эластичности объема производства соответственно по капиталу, труду и материалам, или коэффициенты прироста Q, приходящиеся на 1% прироста соответствующего фактора:

+ + = 1

Несмотря на то, что для производства конкретного продукта требуется сочетание разных факторов, производственная функция обладает рядом общих свойств:

факторы производства являются взаимодополняющими. Это означает, что данный процесс производства возможен только при наборе определенных факторов. Отсутствие одного из перечисленных факторов сделает невозможным производство запланированного продукта.

существует определенная взаимозаменяемость факторов. В процессе производства один фактор может быть заменен в определенной пропорции другим. Взаимозаменяемость не означает возможности полного исключения из производственного процесса какого-либо фактора.

Принято рассматривать 2 разновидности производственной функции: с одним переменным фактором и с двумя переменными факторами.

а) производство с одним переменным фактором;

Допустим, что в самом общем виде производственная функция с одним переменным фактором имеет вид:

где y - const, x - величина переменного фактора.

Для того чтобы отразить влияние переменного фактора на про­изводство, вводятся понятия совокупного (общего), среднего и пре­дельного продукта.

Совокупный продукт (TP ) - это количество эко­номического блага, произведенное с использованием некоторого ко­личества переменного фактора. Это общее количество произведенного продукта изменяется по мере увеличения использования переменного фактора.

Средний продукт (AP)(средняя производительность ресурса) - это отношение общего продукта к количеству использованного в производстве переменного фактора :

Предельный продукт (MP ) (предельная производительность ресурса) обычно определя­ется как прирост совокупного продукта, полученный в резуль­тате бесконечно малого приращения количества использованного переменного фактора:

На графике изображено соотношение MP, AP и TP.

Совокупный продукт (Q) сростом использования в производ­стве переменного фактора (х) будет увеличиваться, однако этот рост имеет определенные пределы в рамках заданной технологии. На первой стадии производства (ОА) увеличение затрат труда способствует все более полному исполь­зованию капитала: предельная и общая производительность труда растут. Это выражается в росте предельного и среднего продукта, при этом MP > АР. В точке А" предельный продукт достигает своего максимума. На второй стадии (AБ) величина пре­дельного продукта уменьшается и в точке Б" становится равной среднему продукту (MP = АР). Если на первой стадии (0A) сово­купный продукт возрастает медленнее, чем использованное количе­ство переменного фактора, то на второй стадии (АБ) совокупный про­дукт растет быстрее, чем использованное количество переменного фактора (рис. 5-1а). На третьей стадии производства (БВ) MP < АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Он утверждает, что с ростом исполь­зования какого-либо производственного фактора (при неизменнос­ти остальных) рано или поздно достигается такая точка, в которой дополнительное применение переменного фактора ведет к снижению относительного и далее абсолютного объемов выпуска продукции.

б) производство с двумя переменными факторами.

Допустим, что в самом общем виде производственная функция с двумя переменными факторами имеет вид:

где x и y - величины переменного фактора.

Как правило, рассматривается 2 одновременно и взаимодополняемых и взаимозаменяемых фактора: труд и капитал.

Эту функцию можно представить графически с использованием изокванты :

Изокванта, или кривая равного продукта, отражает все возможные комбинации двух факторов, которые могут быть использованы для производства определенного объема продукта.

С увеличением объемов используемых переменных факторов, возникает возможность выпуска большего объема продукции. Изокванта, отражающая производство большего объема продукта, будет расположена правее и выше предыдущей изокванты.

Количество использованных факторов x и y может постоянно меняться, соответственно будет уменьшаться или увеличиваться максимальный выпуск продукта. Следовательно, может возникнуть множество изоквант, соответствующих разным объемам выпускаемой продукции, которые образуют карту изоквант .

Изокванты являются подобием кривых безразличия с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства. То есть изокванты обладают свойствами, близкими кривым безразличия.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора.

Так же как кривые безразличия, расположенные на разном расстоянии от начала координат, характеризуют разный уровень полезности для потребителя, так и изокванты дают информацию о разных уровнях выхода продукции.

Проблему заменяемости одного фактора другим можно решить, рассчитав предельную норму технологического замещения (MRTS xy или MRTS LK).

Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора x. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS x,y берется со знаком минус:

MRTS x,y = илиMRTS LK =

Если мы возьмем какую-либо точку на изокванте, например, точку A и проведем к ней касательную KM, то тангенс угла даст нам значение MRTS x,y:

Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора x на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS x,y будет велико.

По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора x на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y.

В реальных производственных процессах встречается два исключительных случая в конфигурации изоквант:

Это ситуация, когда два переменных фактора идеально взаимозаменяемы, При полной заменяемости факторов производства MRTS x,y = const. Подобную ситуацию можно представить при возможности полной автоматизации производства. Тогда в точке A весь процесс производства будет состоять из затрат капитала. В точке B все машины будут заменены рабочими руками, а в точках C и D капитал и труд будут дополнять друг друга.

В ситуации с жесткой дополняемостью факторов предельная норма технологического замещения будет равна 0 (MRTS x,y = 0). Если мы возьмем современный таксопарк с постоянным количеством машин (y 1), для работы на которых необходимо определенное количество водителей (x 1), то можно сказать, что количество обслуживаемых пассажиров в течение суток не увеличится, если мы увеличим численность водительского состава до x 2 , x 3 , ... x n . Объем производимого продукта увеличится с Q 1 до Q 2 только в том случае, если увеличится количество используемых машин в таксопарке и численность водителей.

Каждый производитель, приобретая факторы для организации производства, имеет определенные ограничения в средствах.

Предположим, что в качестве переменных факторов выступают труд (фактор x) и капитал (фактор y). Они имеют определенные цены, которые на период анализа остаются постоянными (P x , P y - const).

Производитель может приобретать необходимые факторы в определенном сочетании, которое не выходит за рамки его бюджетных возможностей. Тогда его затраты на приобретение фактора x составят P x · x, фактора y соответственно - P y · y. Общие затраты (C) составят:

C = P x · X + P y · Y или
.

Для труда и капитала:

или

Графическое изображение функции затрат (С) называется изокостой (прямой равных издержек, т.е. это все комбинации ресурсов, использование которых ведет к одинаковым затратам, израсходованным на производство). Строится данная прямая по двум точкам аналогично бюджетной линии (в равновесии потребителя).

Наклон данной прямой определяется:

С увеличением средств на приобретение переменных факторов, то есть с уменьшением бюджетных ограничений, линия изокосты будет сдвигаться вправо и вверх:

C 1 = P x · X 1 + P y · Y 1 .

Графически изокосты выглядят так же, как бюджетная линия потребителя. При неизменных ценах изокосты представляют собой прямые параллельные линии с отрицательным углом наклона. Чем больше бюджетные возможности производителя, тем дальше от начала координат отстоит изокоста.

График изокосты в случае уменьшения цены на фактор x переместится по оси абсцисс из точки x 1 в x 2 в соответствии с увеличением применения этого фактора в процессе производства (рис. а).

А в случае увеличения цены на фактор y производитель сможет меньшее количество этого фактора привлечь в производство. График изокосты по оси ординат переместится из точки y 1 в y 2 .

Имея возможности производства (изокванты) и бюджетные ограничения производителя (изокосты), можно определить равновесие. Для этого совместим карту изоквант с изокостой. Та изокванта, по отношению к которой изокоста займет положение касательной, определит наибольший объем производства, при заданных бюджетных возможностях. Точка касания изокванты изокостой будет точкой наиболее рационального поведения производителя.

При анализе изокванты мы выяснили, что ее наклон в какой-либо точке определяется углом наклона касательной, или нормой технологического замещения:

MRTS x,y =

Изокоста в точке E совпадает с касательной. Наклон изокосты, как мы определили ранее, равен угловому коэффициенту . Исходя из этого, можно определитьточку равновесия потребителя как равенство соотношений между ценами на факторы производства и изменением этих факторов .

или

Приведя данное равенство к показателям предельного продукта переменного фактора производства, в данном случае это MP x и MP y , получим:

или

Это равновесие производителя или правило наименьших издержек .

Для труда и капитала равновесие производителя будет выглядеть следующим образом:

Предположим, что цены ресурсов остаются неизменными, тогда как бюджет производителя постоянно растет. Соединив точки пересечения изоквант с изокостами, мы получим линию OS - "путь развития" (аналогичную линии уровня жизни в теории поведения потребителя). Эта линия показывает темпы рос­та соотношения между факторами в процессе расширения произ­водства. На рисунке, например, труд в ходе развития производст­ва используется в большей мере, чем капитал. Форма кривой "путь развития" зависит, во-первых, от формы изоквант и, во-вторых, от цен на ресурсы (соотношение между которыми определяет наклон изокост). Линия "путь развития" может быть прямой или кривой, исходящей из начала координат.

Если расстояния между изоквантами уменьшаются, это свидетельствует о том, что существует возрастающая экономия от масштаба, т. е. увеличение выпуска достигается при относительной экономии ресурсов. И фирме необходимо наращивать объем производства, так как это приводит к относительной экономии имеющихся ресур­сов.

Если расстояния между изокванта­ми увеличиваются, это свидетельствует об убывающей экономии от масштаба. Убывающая экономия от масштаба свидетельствует о том, что минимально эффективный размер предприятия уже достигнут и дальнейшее наращивание производства нецелесообразно.

В случае, когда увеличение производства требует пропорцио­нального увеличения ресурсов, говорят о постоянной экономии от масштаба.

Таким образом, анализ выпуска с помощью изоквант позволяет определить техническую эффективность производства. Пересечение изоквант с изокостой позволяет определить не только технологическую, но и экономическую эффективность, т. е. выбрать технологию (трудо-или капиталосберегающую, энерго- или материалосберегающую и т. д.), позволяющую обеспечить максимальный выпуск продукции при тех денежных средствах, которыми располагает производи­тель для организации производства.