Идеи для бизнеса. Займы. Дополнительный заработок / Программы / Правило трех сигм формулируется следующим образом. Точных вам прогнозов и успехов! Коэффициент корреляции и его свойства

Правило трех сигм формулируется следующим образом. Точных вам прогнозов и успехов! Коэффициент корреляции и его свойства

23.07.2019

Краткая теория

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :

где – функция Лапласа :

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

В частности, при справедливо равенство:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .

Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Пример решения задачи

На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?

Решение:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :

Получаем:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину :

По условию

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Как я уже писал раньше, в силу естественно-научного образования и перекоса в сторону логического осмысления и объяснения действительности, я являюсь приверженцем технического анализа рынков.

После окончания вуза и получения специальности радиофизика я занимался вопросами исследования и применения методов анализа и обработки сигналов в системах технической диагностики и контроля состояния объектов авиационной и ракетной техники. Специфика работы требовала досконального знания аналоговых и цифровых методов обработки сигналов. В ту пору мне было непонятно, почему зарубежные авторы иллюстрируют цифровые методы на примере биржевых котировок. Но когда я в конце 2000 года впервые увидел графики рыночных цен, мне стало стало все ясно. Где еще будет концентрироваться человеческий интерес и основные мозги, как не там, где пахнет живыми деньгами.
Ну и мне тоже стало крайне интересно попробовать знакомую мне методологию, принципы и математический аппарат в этой области. И деньги играли тут не главную роль, больше амбиции.

Рыночные цены в конечном итоге определяются состоянием и динамикой развития мировой экономической системы и фундаментальными факторами - ключевыми статистическими показателями состояния национальных экономик. На процессы глобального сдвига накладываются локальные тенденции изменения цен, учитывающие циклы обновления производства, сезонные факторы баланса спроса и предложения и т.д. вплоть до изменений, обусловленных влиянием экономических и политических новостей и действиями отдельных участников рынка.
Изучение характера и степени влияния макроэкономических показателей на динамику цен является предметом фундаментального анализа, который базируется на изучении статистических данных за прошедший период времени, т.е. на уже свершившемся факте.

Технический анализ основан на изучении графиков, изображающих поведение цены во времени. Применим ко всем активам, цена которых определяется на основе свободных колебаний спроса и предложения (валюты, товарные фьючерсы, опционы, ценные бумаги и многое другое), и базируется на постулатах, вытекающих из теории Доу. Основной из этих постулатов формулируется так: рынок учитывает все. Цена является следствием и исчерпывающим отражением всех движущих сил рынка. Любой фактор, влияющий на цену (экономический, политический или психологический) уже учтен рынком и включен в цену. Все, что влияет на цену, обязательно на этой самой цене и отразится. С помощью ценовых графиков рынок сам объявляет о своих намерениях внимательному аналитику, задача которого правильно и вовремя интерпретировать эти намерения.

Естественный подход радиофизика - это анализ графика цен - функции времени, представляющей своего рода сигнал, который необходимо проанализировать и выделить из него интересующую нас информацию. А это технический анализ.

Техническим анализом и конструированием индикаторов кто только не занимался и чего только не наворотили. Но испорченный физическим факультетом ум не признавал методы, за которыми не стояло ясного и прозрачного физического смысла и интерпретации результатов. Одним из наиболее красивых и эффективных индикаторов, за которыми что-то стоит является индикатор границ Боллинджера (Bollinger Bands), который строит каналы в единицах среднеквадратического отклонения сигма цены от среднего значения и основывается на критерии трех сигма.

Правило трёх сигм означает, что практически все значения нормально распределённой случайной величины с вероятностью 0,9973 лежат в интервале +-3 сигма от среднего значения. Не будем вдаваться в обсуждение вопроса, насколько обосновано применение критерия к рынкам, которые не подчиняются нормальному закону распределения и не являются стационарными.

Нормальное распределение и границы отклонений.

Вероятности попадания случайной величины в заданные интервалы.

Как мы уже говорили в техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения каналов Боллинджера.
Принцип построения индикатора очень прост. В заданном временном окне определяется средняя цена и среднеквадратическое отклонение от среднего, а затем от этой средней цены вверх и вниз откладываются расстояния в единицах среднеквадратического отклонения, указывающие не верхнюю и нижнюю границу канала. Далее окно сдвигается на один отсчет вправо, вычисления повторяются и т.д. В результате получается график простого скользящего среднего и две границы, сверху и снизу, отстоящие от среднего на заданное число единиц среднеквадратического отклонения, обычно это 2 сигма.

Пример индикатора приведен на рисунке внизу.

Индикатор границ Боллинджера и его применение.

Граница Боллинджера представляют собой две линии, удаленные от скользящей средней на величины, пропорциональные среднеквадратическому отклонению цен закрытия от скользящей средней. Этот параметр характеризует волатильность рынка, соответственно ширина канала с ростом волатильности также будет возрастать.
Решение на основе анализа ВВ принимается, когда цена либо поднимается выше верхней линии сопротивления ВВ, либо опускается ниже нижней линии поддержки ВВ. Если же график цены колеблется между этими двумя линиями, то надежных сигналов о покупке/продаже на основе анализа ВВ не подается. Решение об открытии позиции принимается только тогда, когда график цены пересекает линию ВВ для возврата в нормальное состояние.
Иногда выход за границу ВВ означает «ложный пробой», т.е. когда цены только попробовали новый уровень и сразу же вернулись назад. В данном случае появляется возможность для работы против тренда, но следует внимательно оценить - а правда ли пробой оказался «ложным». Хорошим подтверждением в таких случаях является показатель объема, который при ложном пробое должен резко снизиться.
Дополнительные сигналы линий ВВ. Схождение ВВ наблюдается, когда рынок успокаивается и на нем не видны значительные колебания. Происходит консолидация к продолжению действующего или появлению нового тренда. Расхождение ВВ наблюдается при усилении действующего тренда или начале нового. Расхождение при возросших объемах является хорошим подтверждением тренда. Средняя является хорошим уровнем поддержки на бычьем рынке и хорошим уровнем сопротивления на медвежьем рынке.

Индикатор хорош и я им одно время пользовался.
Но в модификации - заменил простое скользящее среднее на экспоненциальное (причины могут объяснить в комментариях), а девиацию, используемую для вычисления сигма, на среднеквадратическое отклонение цены от экспоненциальной средней. В дальнейшем параметры индикатора были сильно модифицированы и от классического Bollinger Bands остался только принцип - три сигма.

Сегодня индикатор выглядит так.

Синяя линия в центре - скользящая средняя.

Вверх и вниз от нее отложены каналы +-сигма, +-2*сигма и +-3*сигма.
Правила интерпретации и использования примерно такие же, как и для классического индикатора BB. Но нет той суетливости в принятии решений.
Параметры индикатора автоматически настраиваются на тайм-фрейм.
Рекомендуемые таймфреймы и параметры для использования:
Недельный график - долгосрочный тренд – цикл 2-3 года;
Дневной график - среднесрочный тренд – цикл 5-7 месяцев;
График Н4 - краткосрочный тренд – цикл 30-40 дней;
График Н1 - локальный тренд – цикл 4-6 дней;
График М15 - дневной тренд – цикл 15-30 часов;
График М5 - внутридневной тренд - цикл 4-6 часов;
График М1 - часовой тренд - цикл 50-70 минут.

P.S. Сам я этим индикатором практически не пользуюсь, так как в наборе инструментов SWT-метода есть каналы волатильности, решающие сходные задачи. Желающим могу выслать.
Поскольку Тимофей еще не ввел в чат возможность обмена файлами, пишите в личку свой e-mail.
Плюс к сообщению приветствуется, но для получения индикатора не обязателен.
Да, совсем забыл. Работает только в терминале МТ4. До МТ5 руки не доходят из-за ненадобности.

P.P.S. Да, прошу извинить. Рассылать буду раз в сутки по мере накопления запросов.

Ключевые слова:

Из данной статьи вы узнаете:

Что такое доверительный интервал ?

В чем суть правила 3-х сигм ?

Как можно применить эти знания на практике?

В наше время из-за переизбытка информации, связанного с большим ассортиментом товаров, направлений продаж, сотрудников, направлений деятельности и т.д., бывает трудно выделить главное , на что, в первую очередь, стоит обратить внимание и приложить усилия для управления. Определение доверительного интервала и анализ выхода за его границы фактических значений - методика, которая поможет вам выделить ситуации , влияющие на изменение тенденций. Вы сможете развивать позитивные факторы и снизить влияние негативных. Данная технология применяется во многих известных мировых компаниях.

Существуют так называемые "оповещения" , которые информируют руководителей о том, что очередное значение в определенном направлении вышло за доверительный интервал . Что это означает? Это сигнал, что произошло какое-то нестандартное событие, которое, возможно, изменит существующую тенденцию в данном направлении. Это сигнал к тому, чтобы разобраться в ситуации и понять, что на неё повлияло.

Например, рассмотрим несколько ситуаций. Мы рассчитали прогноз продаж с границами прогноза по 100 товарным позициям на 2011 год по месяцам и в марте фактические продажи:

По «Подсолнечному маслу» пробили верхнюю границу прогноза и не попали в доверительный интервал.
По «Сухим дрожжам» вышли за нижнюю границу прогноза.
По «Овсяным Кашам» пробили верхнюю границу.

По остальным товарам фактические продажи оказались в рамках заданных границ прогноза. Т.е. их продажи оказались в рамках ожиданий. Итак, мы выделили 3 товара, которые вышли за границы, и начали разбираться, что же повлияло на выход за границы:

По «Подсолнечному маслу» мы вошли в новую торговую сеть, которая дала нам дополнительный объем продаж, что привело к выходу за верхнюю границу. Для этого товара стоит пересчитать прогноз до конца года с учетом прогноза продаж в данную сеть.
По «Сухим дрожжам» машина застряла на таможне, и образовался дефицит в рамках 5 дней, что повлияло на снижение продаж и выход за нижнюю границу. Возможно, стоит разобраться, что послужило причиной и постараться не повторять данную ситуацию.
По «Овсяным Кашам» было запущено мероприятие по стимулированию сбыта, которое дало значительный прирост продаж и привело к выходу за границы прогноза.

Мы выделили 3 фактора, которые повлияли на выход за границы прогноза. В жизни их может быть гораздо больше.Для повышения точности прогнозирования и планирования факторы, которые приводят к тому, что фактические продажи могут выйти за границы прогноза, стоит выделить и строить прогнозы и планы по ним отдельно. А затем учитывать их влияние на основной прогноз продаж. Также можно регулярно оценивать влияние данных факторов и менять ситуацию к лучшему за счет уменьшения влияния негативных и увеличения влияния позитивных факторов .

С помощью доверительного интервала мы можем:

Выделить направления , на которые стоит обратить внимание, т.к. в этих направлениях произошли события, которые могут повлиять на изменение тенденции .
Определить факторы , которые реально влияют на изменение ситуации.
Принять взвешенное решение (например, о закупках, при планировании и т.д.).

Теперь рассмотрим, что такое доверительный интервал и как его рассчитать в Excel на примере.

Что такое доверительный интервал?

Доверительный интервал – это границы прогноза (верхняя и нижняя), в рамки которых с заданной вероятностью (сигма) попадут фактические значения.

Т.е. мы рассчитываем прогноз - это наш основной ориентир, но мы понимаем, что фактические значения вряд ли на 100% будут равны нашему прогнозу. И возникает вопрос, в какие границы могут попасть фактические значения, если существующая тенденция сохранится ? И на этот вопрос нам поможет ответить расчет доверительного интервала , т.е. - верхней и нижней границы прогноза.

Что такое заданная вероятность сигма?

При расчете доверительного интервала мы можем задать вероятность попадания фактических значений в заданные границы прогноза . Как это сделать? Для этого мы задаем значение сигма и, если сигма будет равна:

3 сигма - то, вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал составят 99,7%, или 300 к 1, или существует 0,3% вероятности выхода за границы.

2 сигма - то, вероятность попадания очередного значения в границы составляет ≈ 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1, или существует 4,5% вероятности выхода за границы.

1 сигма - то, вероятность ≈ 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1, или существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за пределы доверительного интервала.

Мы сформулировали правило 3 сигм, которое гласит, что вероятность попадания очередного случайного значения в доверительный интервал с заданным значением три сигма составляет 99.7% .

Великим русским математиком Чебышевым была доказана теорема о том, что существует 10% вероятность выхода за границы прогноза с заданным значением три сигма. Т.е. вероятность попадания в доверительный интервал 3 сигма составит минимум 90%, в то время как попытка рассчитать прогноз и его границы «на глазок» чревата куда более существенными ошибками.

Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?

Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд - продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.

Для расчета границ прогноза рассчитаем:

Прогноз продаж ().
Сигма - среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
Три сигма.
Доверительный интервал.

1. Прогноз продаж.

=(RC[-14](данные во временном ряду) - RC[-1](значение модели) )^2(в квадрате)

3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали... для каждого года.

Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()

СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)

4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этапво вложенном файле ).

Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))

С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n

Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца - этап 10 во вложенном файле .

3. Рассчитаем 3 сигма.

На 11 этапе задаем количество сигм - в нашем примере «3» (11 этапво вложенном файле ):

Также удобные для практики значения сигма:

1,64 сигма - 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);

1,96 сигма - 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);

2,6 сигма - 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).

5) Рассчитываем три сигма , для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».

3.Определяем доверительный интервал.

Верхняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
Нижняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;

Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где

Y8 - прогноз продаж;

W8 - номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;

Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).

Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».

Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.

Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.

В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.

Точных вам прогнозов и успехов!

Чем Forecast4AC PRO может вам помочь при расчете доверительного интервала ?:

Forecast4AC PRO автоматически рассчитает верхнюю или нижнюю границы прогноза для более чем 1000 временных рядов одновременно;

Возможность анализа границ прогноза в сравнении с прогнозом, трендом и фактическими продажами на графике одним нажатием клавиши;

В программе Forcast4AC PRO есть возможность задать значение сигма от 1 до 3.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа :

Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel .
4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

При проведении практических вычислений за единицу измерения отклонения случайной величины, подчиненной нормальному закону от ее центра рассеивания (математического ожидания), принимают среднеквадратичное отклонение а. Тогда на основании формулы (7) § 17 получаются полезные при различных вычислениях равенства

Эти результаты геометрически изображены на рис. 439.

Почти достоверно, что случайная величина (ошибка) не отклонится от математического ожидания по абсолютной величине больше чем на Это предположение называют правилом трех сигм.

В теории стрельбы и при обработке различных статистических материалов бывает полезно знать вероятность попадания случайной величины в интервалы (0, Е),

При плотности распределения, определяемой по формуле (1) § 19. Знание этих вероятностей во многих случаях сокращает вычисления и помогает при анализе явлений.

При вычислении этих вероятностей будем пользоваться формулой (8) § 19 и таблицей функции

Результаты вычислений геометрически изображены на рис. 440, который называется шкалой рассеивания ошибок. Из этих расчетов следует, что практически достоверно, что значение случайной величины попадает в интервал Вероятность того, что значение случайной величины попадает вне этого интервала, меньше 0,01.

Пример 1. Производится один выстрел по полосе шириной 100 м. Прицеливание рассчитывалось на среднюю линию полосы, которая перпендикулярна к плоскости полета снаряда. Рассеивание подчиняется нормальному закону с вероятным отклонением по дальности Определить вероятность попадания в полосу (рис. 441). Срединное отклонение по дальности в теории стрельбы обозначают боковое .

Решение. Воспользуемся формулой (7) § 19. В нашем случае . Следовательно,

Замечание. Приближенно можно было бы решить задачу, не пользуясь таблицами функции , а воспользоваться шкалой рассеивания (рис. 440).